Geometría - Teoría de análisis dimensional
TEORÍA DE ANÁLISIS DIMENSIONAL
Resumen:
I. ¿Qué es el análisis dimensional?
El análisis dimensional es una herramienta matemática utilizada en la física y la ingeniería para entender y relacionar variables físicas en sistemas complejos. Al utilizar este análisis, se pueden identificar las dimensiones de las variables de interés y se pueden expresar en términos de unidades fundamentales. A continuación, se presentan algunas de las utilidades del análisis dimensional:
- Verificar la validez de ecuaciones físicas: Una ecuación física puede ser verificada a través del análisis dimensional. Si las dimensiones de ambas partes de la ecuación no coinciden, entonces la ecuación es incorrecta.
- Simplificar ecuaciones: Al expresar una ecuación en términos de sus dimensiones fundamentales, se pueden eliminar algunas variables y simplificar la ecuación.
- Predecir comportamientos físicos: El análisis dimensional se utiliza para predecir cómo se comportará un sistema físico en diferentes condiciones. Por ejemplo, se puede predecir cómo la velocidad de un objeto afecta su fuerza de arrastre.
- Convertir unidades: El análisis dimensional permite convertir entre unidades. Por ejemplo, se puede convertir una distancia medida en metros a pies.
- Diseñar experimentos: El análisis dimensional se utiliza para diseñar experimentos que prueben una hipótesis o que busquen entender cómo funcionan los sistemas físicos. El análisis dimensional ayuda a elegir las variables de entrada y de salida adecuadas para el experimento.
- Creación de nuevas fórmulas o fórmulas empíricas: Al establecer la relación entre las variables físicas que intervienen en un problema, se pueden obtener expresiones matemáticas que describen el comportamiento de un sistema físico en términos de las unidades de medida correspondientes.
II. ¿Qué es magnitud?
Una magnitud es cualquier propiedad o característica de un objeto o sistema que puede ser medida o cuantificada y se miden en unidades específicas, que son convenciones acordadas para expresar la cantidad de una magnitud en términos numéricos.
III. ¿Qué es medir?
Es comparar una magnitud desconocida con una magnitud conocida. A través de la comparación, podemos determinar el valor numérico de la cantidad desconocida.
La magnitud que se está midiendo, se expresa en términos de una unidad de medida específica. Por ejemplo, si estamos midiendo la longitud de una mesa, la unidad de medida puede ser el metro o el centímetro. Si estamos midiendo el tiempo, la unidad de medida puede ser el segundo o el minuto. Es importante utilizar la unidad de medida correcta para asegurarse de que la medición sea precisa y entendida por los demás.
IV. ¿Qué es unidad patrón?
La unidad patrón es una unidad de medida establecida y definida de manera oficial y aceptada internacionalmente. Se utiliza como referencia para establecer y comparar las mediciones de una magnitud determinada. Por otro lado, la unidad de medida es cualquier valor convencional que se utiliza para medir una magnitud específica.
V. Clasificación de las magnitudes
a) Por su origen
1. Magnitudes fundamentales
Las magnitudes fundamentales son aquellas que no pueden ser definidas en términos de otras magnitudes y sirven de base para expresar las demás magnitudes físicas.
Estas magnitudes se pueden medir en diferentes sistemas de unidades.
| #1 | Magnitud | Ec. Dimensional | Unidades | ||
|---|---|---|---|---|---|
| CGS | MKS | FPS | |||
| 1 | Longitud | L | Centímetro(cm) | Metro(m) | Pie(ft) |
| 2 | Masa | M | Gramo(g) | Kilogramo(kg) | Libra(lb) |
| 3 | Tiempo | T | Segundo(s) | Segundo(s) | Segundo(s) |
Nota: El sistema absoluto considera como magnitudes fundamentales a la longitud, masa y tiempo.
- CGS: Centímetros, Gramos, Segundos
- MKS: Metro, Kilogramo, Segundo
- FPS: Pies, Libras, Segundos
| #1 | Magnitud | Ec. Dimensional | Unidades | ||
|---|---|---|---|---|---|
| CGS | MKS | FPS | |||
| 1 | Longitud | L | Centímetro(cm) | Metro(m) | Pie(ft) |
| 2 | Fuerza | F | Gramo-fuerza(gf) | Kilogramo-fuerza(kgf) | Libra-fuerza(lbf) |
| 3 | Tiempo | T | Segundo(s) | Segundo(s) | Segundo(s) |
Nota: El sistema técnico gravitatorio se considera como magnitudes fundamentales a la longitud, fuerza y tiempo.
- CGS: Centímetros, Gramos-fuerza, Segundos
- MKS: Metro, Kilogramo-fuerza, Segundo
- FPS: Pies, Libras-fuerza, Segundos
| #1 | Magnitud | Ec. Dimensional | Nombre | Símbolo |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Longitud | L | Metro | m |
| 2 | Masa | M | Kilogramo | Kg |
| 3 | Tiempo | T | Segundo | s |
| 4 | Temperatura | θ | Kelvin | K |
| 5 | Cantidad de sustancia | N | Mol | mol |
| 6 | Intensidad de corriente eléctrica | I | Ampere | A |
| 7 | Intensidad luminosa | J | Candela | cd |
2. Magnitudes derivadas
Las magnitudes derivadas son aquellas que se obtienen a partir de las magnitudes fundamentales mediante combinaciones matemáticas, como operaciones de suma, resta, multiplicación, división, exponentes, etc. Por ejemplo, la velocidad es una magnitud derivada, ya que se obtiene dividiendo la distancia recorrida por el tiempo transcurrido.
| #1 | Magnitud | Ec. Dimensional | S.I | CGS |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Longitud | L | Metro (m) | Centímetro (cm) |
| 2 | Masa | M | Kilogramo (Kg) | Gramo (g) |
| 3 | Tiempo | T | Segundo (s) | Segundo (s) |
| 4 | Área | L2 |
m2 |
cm2 |
| 5 | Volumen | L3 |
m3 |
cm3 |
| 6 | Velocidad lineal | LT-1 |
m/s | cm/s |
| 7 | Aceleración lineal | LT-2 |
m/s2 |
cm/s2 |
| 8 | Fuerza | MLT-2 |
(kg.m)/s2 = N [Newton] |
(g.cm)/s2 = dina |
| 9 | Torque | ML2T-2 |
m.N | cm.Dina |
| 10 | Trabajo y energía | ML2T-2 |
N.m = Joule (J) | Dina.cm = Ergio [erg] |
| 11 | Potencia | ML2T-3 |
J/s =Watio [W] | erg/s |
| 12 | Cantidad de movimiento | MLT-1 |
(Kg.m)/s | (g.cm)/s |
| 13 | Impulso | MLT-1 |
N.s | dina.s |
| 14 | Densidad | ML-3 |
Kg/m3 | g/cm3 |
| 15 | Peso específico | ML-2T-2 |
Kg/(m2.s2) | g/(cm2.s2) |
| 16 | Presión | ML-1T-2 |
N/m2 = Pascal [Pa] | dina/cm2 |
| 17 | Periodo | T | s | s |
| 18 | Frecuencia | T-1 |
1/s = Hertz [Hz] | 1/s Hertz [Hz] |
| 19 | Velocidad angular | T-1 |
rad/s | rad/s |
| 20 | Aceleración angular | T-2 |
rad/s2 |
rad/s2 |
| 21 | Momento fuerza | ML2T-2 |
m.N | cm.dina |
| 22 | Momento angular | ML2T-1 | kg.m2/s | g.cm2/s |
| 23 | Momento de inercia | ML2 | kg.m2 | g.cm2 |
| 24 | Coeficiente de dilatación | θ-1 | K-1 | K-1 |
| 25 | Tensión superficial | MT-2 | N/m | dina/cm |
| 26 | Coeficiente de viscosidad | ML-1T-1 |
N.s/m2 = Poise |
dina.s/cm2 |
| 27 | Campo gravitatorio | LT-2 |
N/kg | dina/g |
Nota: El sistema FPS (Foot-Pound-Second) y el sistema inglés de unidades son similares, pero no son exactamente iguales. Ambos sistemas utilizan unidades como pies, pulgadas, libras y segundos, pero difieren en la forma en que se definen algunas de estas unidades y en la forma en que se expresan las ecuaciones dimensionales. Además, el sistema FPS se utiliza más comúnmente en la mecánica, mientras que el sistema inglés se utiliza en una variedad de campos, incluyendo la ingeniería civil y la arquitectura.
b) Por su naturaleza
1. Magnitudes escalares
El Las magnitudes escalares son aquellas que pueden describirse completamente mediante un solo número, que se conoce como valor numérico, y una unidad de medida. No tienen dirección ni sentido, y suelen representarse mediante un número real positivo o negativo.
Ejemplos:
- La temperatura ambiente es de 24°C.
24: Valor numérico
°C: Unidad de medida
- La distancia recorrida fue de 2km.
2: Valor numérico
km: Unidad de medida
Estos son solo algunos ejemplos de magnitudes escalares, :
- Longitud: Descripción de la distancia o tamaño de un objeto en una dirección específica, medida en unidades como metros (m), pulgadas (in), pies (ft), etc.
- Tiempo: Medida de la duración entre dos eventos o sucesos, expresada en unidades como segundos (s), minutos (min), horas (hr), etc.
- Masa: Cantidad de materia en un objeto, medida en unidades como kilogramos (kg), libras (lb), gramos (g), etc.
- Temperatura: Medida del nivel de calor o frío de un objeto o ambiente, expresada en unidades como Celsius (°C), Fahrenheit (°F), Kelvin (K), etc.
- Cantidad de sustancia: Medida de la cantidad de una sustancia química, medida en unidades como moles (mol), equivalentes químicos, etc.
- Energía: Medida de la capacidad de un sistema para realizar trabajo o transferir calor, expresada en unidades como julios (J), calorías (cal), vatios-hora (Wh), etc.
- Carga eléctrica: Medida de la cantidad de carga eléctrica de un objeto o sistema, medida en unidades como culombios (C), amperios-hora (Ah), etc.
2. Magnitudes vectoriales
¿Qué es un vector?
Un vector es una entidad matemática que tiene:
- Magnitud: Es la medida de la longitud del vector.
- Dirección: Se describe en términos de un ángulo o una orientación en relación con algún sistema de referencia.
- Sentido: Es la indicación de hacia dónde apunta o se mueve el vector a lo largo de su dirección.
Ejemplo básico de vectores:
Se tiene un vector \overline{OP}
Estos conceptos se utilizan para describir completamente un vector en un espacio tridimensional, y son importantes en diversas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería y otras disciplinas.